一、数学悖论

1、同学们，这个虔诚的教徒能回答路人的提问吗？

2、数学大家谈栏目丨专访数学研究专家沈明哲！

3、“我正在说的这句话是谎话”

4、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的,每一个悖论解决都是一次数学飞跃.都会一门数学分支出现,所以在中学教育适当讲几个悖论,有助于激发学生兴趣.可以讲讲根号2悖论,理发师悖论,无穷悖论.这些悖论学生基本上可以理解.这样可以活跃课堂教学效果

5、三次数学危机与数学悖论.韩雪涛.人民邮电出版社

6、可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，但却突然想到：如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。同学们看他该不该给自己刮脸呢？

7、你的儿女其实不是你的，你要做的是这十点|视频

8、同济版高等数学(上)视频汇总

9、设想一下，乌龟在阿基里斯前方100米，他的速度是乌龟的10倍，一段时间内，阿基里斯跑了100米，则乌龟爬了10米，乌龟领先他10米；下一段时间内，他跑了10米，而乌龟爬了1米，乌龟又领先阿基里斯1米；依次下去，尽管二者的距离会不断的缩小，但乌龟始终会领先于阿基里斯，最后的冠军也是乌龟。这是不是和大家的认知观不太一样呢？

10、概述：假设无限个球和一个花瓶，现在要进行一系列操作，且每次操作都一样：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？

11、讲座专为你而来你说你来不来

12、脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗？

13、19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！

14、一位老师宣布说，在下一星期的五天内(星期一到星期五)的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”

15、古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999……等于1的情境。

16、要“朗读”，不要“唱读”

17、不管上帝怎么笑，我们还要一如既往地思考

18、甲对乙说：“你下面要讲的是‘不’，对不对？请用‘是’或‘不’来回答！”

19、在除以那一步中，我们实际上是在除以0，这是因为，所以。这最终使我们得出了一个荒谬的结果，从而令我们别无选择，只能禁止除以0。

20、谬误悖论指其推理过程是有谬误的，但据此确立的命题不但似乎是荒谬的，而且确实是错误的，归类于谬误。

二、数学悖论

1、如果我们仔细分析这段话，会发现存在自相矛盾，使得开会无法进行，你能看出问题所在吗？

2、悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。

3、你能说出为什么这场考试无法进行吗？

4、历史上出现过的数学悖论很多，数理逻辑是数学的研究方法，于是很多逻辑上的悖论，也归在数学门下，以下就是几个有趣的数学悖论：

5、我们欠孩子真正的数学阅读(附推荐目录)

6、分球悖论，数学中一条经过严格证明的定理，可以描述为：一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球(半径相同，密度相同……所有性质都相同)

7、同色马悖论(数学归纳法)

8、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论解决都是一次数学飞跃。都会一门数学分支出现，所以在中学教育适当讲几个悖论，有助于激发学生兴趣。可以讲讲根号2悖论，理发师悖论，无穷悖论。这些悖论学生基本上可以理解。这样可以活跃课堂教学效果

9、{…}是自然数集：

10、芝诺(约公元前490～前425)。芝诺以其悖论闻名，他一生曾巧妙地构想出40多个悖论，在流传下来的悖论中以关于运动的四个“无限微妙、无限深邃”的悖论最为著名。他提出这些悖论很可能是为他老师的哲学观点辩护。关老师总把“阿基里斯追龟悖论”挂在嘴边(小脚老太婆)，然而这四个悖论组合在一起有着奇妙的魅力。二分法悖论：任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB中点E。依此类推。这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。所以，该物体永远也到不了终点B。不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。因为在进行

11、看了这部电影，你会更加懂得什么是伟大的老师——看《嗝嗝老师》有感

12、可以说，芝诺悖论曾经引起了很多的讨论，极大地推动了人们对无穷大，无穷小的认识，有其历史意义。但是现在来看，已经不算一个很重要的问题。而接下来要说的另一套悖论，则直接带来了第三次数学危机：说谎者悖论。

13、“我说的这句话是假的”。这个语句是真的还是假的？

14、数学中的悖论或者谬误，常常都是因为违反某条数学规则或数学定律而导致的结果。这使得这些悖论成为说明这些规则的优秀载体，因为它们的违规导致了某些相当“奇异”的结果，比如说1=或1=0，简直荒谬！它们显然具有娱乐性，因为它们非常微妙地将我们引向了一个不可能的结论。通向这个怪异结果的每一步看起来似乎都是正确的，这个事实常常令我们倍感困惑。这相当具有激励作用，并且会使结论令人印象深刻得多。

15、这个关于时间旅行的悖论源自罗伯特·海因莱因的短篇小说，近来又出现在诺兰导演的《星际穿越》中。

16、同样，这也是探究数学边界的一个良好资源。为什么不允许除以0？为什么根式的乘积并不总是等于乘积的根式？这只是众多悖论中的几个问题，揭示这些“滑稽”的结果很有乐趣，而且它们具有很高的研究价值。

17、按《斯坦福哲学百科全书》“悖论”条目的定义，悖论通常是指这样一种命题，按普遍认可的逻辑推理方式，推导的结论超出“通常可接受的见解”。或者说结论是有矛盾的。

18、本文来源：超级数学建模

19、研究和学习悖论的意义：

20、把(2)式带入(3)式，就有，从而。

三、数学悖论的例子

1、解决挑战常识型悖论的方法是：放弃原来的假定。无论最初的假定多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾迎刃而解。

2、脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。

3、在某个城市中有一位理发师，他的广告词:"本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!"来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸，他就属于"不给自己刮脸的人"，他就要给自己刮脸;而如果他给自己刮脸呢?他又属于"给自己刮脸的人"，他就不该给自己刮脸。

4、价值悖论又叫钻石与水悖论，由亚当•斯密在他的著作《国富论》中第一次提出。钻石对于人类维持生命没有任何实质性价值,但是钻石的市场价值非常高。而水是人类维持生命的必需品，但水的市场价值与钻石相比却非常低。这种强烈的反差就构成了价值悖论。

5、如何解释圣彼得堡悖论？知乎网

6、有利于提高学生对现代数学所具有的美妙、多样，甚至幽默性质的鉴赏力。

7、15陈皓然老师将为你支招

8、在“永恒的三角形”中，A表示选择货币政策独立性和资本自由流动，B表示选择固定汇率和资本自由流动，C表示选择货币政策的独立性和固定汇率。这三个目标之间不可调和，最多只能实现其中的两个。这就是著名的“三元悖论”。

9、集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分，如果继续承认集合论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。

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11、数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来，之所以出现罗素悖论这样的怪物，是由于在集合论中，“集合的集合”这句话不能随便说。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。

12、请听下面的有趣的对话：

13、像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论，叫做“悖论”。罗素编的这则笑话，就是数学史上著名的“理发师悖论”。

14、在这个领域里，由于数学家的观点不同，产生了3个著名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派，他们认为，只要不允许使用“集合的集合”这种非逻辑语言，罗素悖论就不会发生；以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派，他们认为，“集合的集合”是不能用直觉理解的，不承认它的合理性，罗素悖论自然也就不会产生了；以希尔伯特为主要代表的数学家叫形式主义学派，他们认为，悖论是一种不相容的表现。

15、电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！”

16、对于有些涉及无限的古典悖论，如芝诺悖论中的“阿基里斯悖论和飞矢不动悖论，尽管可以看出其谬误(既：应该用微积分来处理“无限”)，但其逻辑推理方式在当时是基本被认可的，所以在当时是可以称为悖论。但是，微积分出现以后，可以看出芝诺悖论的推理中用有谬误的推理过程，应该归类于谬误。

17、讨论悖论是很有乐趣的，而且这些悖论中常常会包含某条非常重要的信息，通过这项娱乐我们会学到很多东西。例如：2磅=32盎司，0.5磅=8盎司，相乘得到1磅=256盎司！

18、概率论与数理统计(浙大版)

19、例如：公理化集合论的建立，成功解决了罗素悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。

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四、十大数学悖论

1、我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？

2、历史上，数学家解决这个问题的方案是 公理化。在康拓的朴素集合论的基础上，策梅洛和弗兰克尔提出了更为完整而完备的集合论公里系统，明确的限定了合法的集合操作。这一体系被称为ZF公理系统。

3、这句话的意思是说：如果说谎人说这句话，则表明他说的是真话；但如果承认他说的是真话，又与此人是“说谎人”相矛盾，于是或真或假，难以断定。

4、第一个故事发生在一位调查员身上。这位调查员受托去A、B、C三所中学调查学生订阅《中学生数学》的情况，他很快统计出，A校男生订阅的比例比女生订阅的比例要大些，对B校和C校的调查也得出同样的结果。于是他拟写了一个简要报道，称由抽取的三所学校的调查数据看，中学生中男生订阅《中学生数学》的比例比女生大。后来，他又把三所学校的学生合起来作了一遍统计复核，匪夷所思的事情发生了，这时他得出的统计结果令他大吃一惊，原来订阅《中学生数学》的所有学生中，女生的比例比男生要大些，怎么会是这样呢?这就象在玩一个魔术，少的变多了，多的变少了。你能帮他找找原因吗?

5、离散数学的悖论，按照离散数学书上的顺序给出3种悖论。集合论的悖论:A={x|x不属于A}A到底存在吗?推理的悖论:A问B:你说一句话，如果你说假话，我就枪杀你，你说真话我就吊死你。B:你会枪杀我逻辑合成的悖论:"囚徒困境"，也就是A=1B=1A^B=0

6、到今天，芝诺悖论仍然吸引着数学家和哲学家的强烈兴趣。他关于运动的悖论适用于任何一种距离。芝诺的悖论提出，在你跨过一个房间之前，你必须得穿过一半(1/2)的距离；但是在此之前，必须跨越这个一半距离的一半(1/4);在这之前，必须跨越这个距离的一半(1/8)，以此类推。由于跨越的任何距离都可以无限地被等分，所以任何物体永远也不可能4从一处运动到另一处。芝诺关于阿基里斯(Achilles)和乌龟的悖论讲的是赛跑时的情形，与上一个悖论稍有不同。假设阿基里斯与乌龟赛跑时，让乌龟在前。在阿基里斯追上乌龟之前，他必须首先到达乌龟的起点。但是由于乌龟在不断地沿着自己的起点向前移动，所以阿基里斯永远不能追上乌龟。

7、“说谎者悖论”有多种变化形式，下面的几个类似的悖论请同学们一起来试着理解：

8、数学悖论：说谎者悖论、芝诺悖论、上帝悖论、硬币悖论、预想不到的考试的悖论等；科学悖论：阿基里斯悖论、二分法悖论、

9、“这，这，……”理发师张口结舌，半晌说不出一句话来。

10、这个悖论被抽象出来，就是集合论中的“自指悖论”。R是所有不包含自身的集合的集合，那么R是否包含R呢？如果包含，则应该不包含；如果不包含，则应该包含。那么到底哪里出了问题呢？是我们的逻辑学？还是集合论本身？

11、脑洞：原来也有平胸不一定能为国家省布料的时候。

12、理发师的狼狈相是很好笑的，可是，数学家听了却笑不起来，因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样，陷入了自相矛盾的尴尬境地。

13、有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”

14、一听不要紧听了还想听？？

15、考虑的商，其中。在不承认那条除以0的戒律的情况下，让我们推测(猜想)这个商可能等于什么。让我们假设它为p，可以通过乘法看它是否等于n来检验，因为这就是除法运算正确时应该得到的结果。因为，我们知道。因此，不管商p取什么值都不能使这道除法成立，所以我们规定禁止除以0。

16、当x=1时，1,2,3,4,…，n这些数中的每一个都等于，这就导致它们全都彼此相等。当然，这不可能是正确的。出于这个原因，我们定义是无意义的。在数学中，为了避免一些荒谬的陈述，我们会做出一些定义，从而使事情有意义或不产生矛盾，正如这里的情况所表明的。

17、脑洞：理科生们笑到内伤。

18、实质条件的示意图如下：

19、在中国古代《墨经》中，也有一句十分相似的话：“以言为尽悖，悖，说在其言。”意思是：如果你认为“所有的话都是错的”这句话是对的，那就错了，因为这句话本身就是对的。

20、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论解决都是一次数学飞跃。

五、数学悖论有哪些

1、上面说的都是什么鬼？？

2、芝诺悖论是解决了，但第三次数学危机还没有完全度过。大家为了不让数学届出现混乱和骚动，只能暂时承认目前所有的定理公式都是正确的，这样人类才可以继续走下去！但实际上目前所得到的这些定理公式到底存不存在漏洞，谁也不能确定，就像第三次数学危机还没出现前，大家都认为所有的定理公式都是真理，但第三次数学危机出现后，大家都不知道该之前的定理公式还有多少是能被推翻的，还有多少是可信的！但又没有人有能力证明这些定理公式的真假程度，所以只能暂时搁浅了！所以说，第三次数学危机并没有完全度过！

3、概述：运动是不可能的。你要到达终点，必须先到达全程的1/2处；要到达1/2处，必须先到1/4处……每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。

4、我教霍尔果斯市莫乎尔的孩子们“学好数学三句话”(有视频)

5、三门问题及其相关问题(概率)

6、现在的问题是你会怎么办？

7、在女儿高一家长会上的发言

8、硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？

9、孩子做数学题又慢又容易错？优化这7个细节最有效！